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2016年06月14日

合否を決める一問:「H27 暁星中学校 算数 4」問題と解答

 この問題は比の応用問題で、条件が複雑なので、うまく整理して考える必要があります。割合や比の問題では、与えられている具体的な値(この問題では336km、一日で使ったガソリンの量は前日よりも1多い)が少ないことが多いのですが、逆にこの値が解くためのヒントとなりますそれでは、頑張って解いてみてください!!




 和夫さんの運転するタクシーは、乗客の有無(うむ)に関係なく、休憩(きゅうけい)時間をのぞいて一日あたり8時間走ります。乗客がいた時といない時とでは、時速の比は6:5
1kmあたりに減るガソリンの量の比は25:24です。ある日、乗客がいた時間は合計で2時間で、タクシーが走った距離は一日の合計で336kmでした。ただし、乗客がいた時は人数によって速さや使うガソリンの量が変化することはないものとし、乗り降りにかかる時間は無視するものとします。次の各問いに答えなさい。

(1)乗客がいない時のタクシーの速さは時速何kmですか。

(2)この日の翌日、乗客がいた時間は合計で3時間で、一日で使ったガソリンの量は前日よりも1
多くなりました。乗客がいた時、このタクシーはガソリン1Lあたりで何km走りますか。


答え (1) 時速40km   (2) 9.6km
posted by 主宰 at 02:00| Comment(0) | 合否を決める一問

2016年05月24日

合否を決める一問:「H27 穎明館中学校 第1回 算数 4」解説

(1)
(ア)
  角AEG=角ABC=90°

より、EFとABは平行ですから、三角形AEGと三角形ABCは相似な三角形になります。相似比は、

  AE:AB=(20÷2):20=1:2

です。よって、

  EG:BC=1:2

より、

  EG=BC÷2=10÷2=5(cm)

となります。
ここで、三角形AEGと三角形GEPにおいて、三角形の内角の和は180°ですから、

  角EAG=180°−角AEG−角AGE
 =180°−90°−角AGE
 =90°−角AGE


となります。また、三角形AEGと三角形ABCの相似比は1:2ですから、点GはACの真ん中の点となります。さらに、三角形APCは二等辺三角形ですから、PGとACは垂直になります。よって、

  角AGP=90°

ですから、

  角EGP=角AGP−角AGE
 =90°−角AGE


となります。よって、

  角EAG=角EGP

となります。また、

  角AEG=角GEP=90°

です。よって、2組の角がそれぞれ等しいので、三角形AEGと三角形GEPは相似な三角形になります。ここで、

  AE:EG=GE:EP=10:5=2:1

となり、EG=5cmより、

  EP=2.5cm

とわかります。


答 (ア)(EG)5cm  (EP)2.5cm



(イ)
  PB=EB−EP=10−2.5=7.5(cm)
  CP=AP=AE+EP=10+2.5=12.5(cm)
  BC=10cm


よって、

  PB:BC:CP=7.5:10:12.5=3:4:5

となります。


答 (イ)(PB:BC:CP)3:4:5



(2)
(1)と同じように、AB、DCの真ん中をそれぞれ点E、点Fとし、点Aと点Cを結び、EFとの交点を点Gとします。

27-eimei-04-zu_kai01.jpg

 (1)と同じように、三角形AEGと三角形ABCは相似な三角形になります。相似比は、

 AE:AB=(40÷2):40=1:2

です。よって、

 EG=BC÷2=10÷2=5(cm)

となります。また、三角形AEGと三角形GEPも相似な三角形になります。ここで、

 AE:EG=GE:EP=20:5=4:1

となり、EG=5cmより、

 EP=5÷4=1.25(cm)

とわかります。

 PB=EB−EP=20−1.25=18.75(cm)
 CP=AP=AE+EP=20+1.25=21.25(cm)
 BC=10cm


よって、

 PB:BC:CP=18.75:10:21.25=15:8:17

となります。

27-eimei-04-zu_kai02.jpg





答 (イ)(PB:BC:CP)15:8:17
posted by 主宰 at 02:00| Comment(0) | 合否を決める一問

2016年05月21日

合否を決める一問:「H27 穎明館中学校 第1回 算数 4」問題と解答

 直角三角形の3辺の比は、中学生や高校生なら、三平方の定理を使って簡単に求めることができますが、小学生はそうはいきません。小学生の場合は、3辺の比が整数になる限られた場合しか出題されません。この問題では、(1)を(ア)(イ)の手順に沿って考えると、比較的簡単に解くことができます。(2)も(1)と同じように考えると解くことができます。このような考え方が難しい問題では、出題者の誘導にしたがって考えることが基本です。それでは、頑張って解いてみてください!!


(1) 図1の長方形ABCDで、点PはAB上にあり、APとPCの長さは同じです。

27-eimei-04-zu01.jpg

(ア) 点E、点Fはそれぞれ、AB、DCの真ん中の点です。点GはACとEFの交点です。このとき、EGの長さとEPの長さをそれぞれ求めなさい。

(イ) 直角三角形PBCの3つの辺PB、BC、CPの長さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2) (1)と同様に、図2の長方形ABCDで、点PはAB上にあり、APとPCの長さは同じです。直角三角形PBCの3つの辺PB、BC、CPの長さの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

27-eimei-04-zu02.jpg


答え
(1) (ア)(EG)5cm   (EP)2.5cm  (イ) (PB:BC:CP)3:4:5

(2) (PB:BC:CP)15:8:17
posted by 主宰 at 02:00| Comment(0) | 合否を決める一問